動態規劃入門模板：背包、LIS、編輯距離

Mon, 15 Jan 2024 00:00:00 +0800

DP 三要素

拿到任何 DP 題，先確認這三件事：

狀態定義：dp[i] 或 dp[i][j] 代表什麼？
轉移方程：當前狀態如何從子問題推導？
初始化：Base case 是什麼？遍歷方向是從前到後還是後到前？

這三點清楚後，程式碼幾乎是機械式填寫。

0/1 背包（01 Knapsack）

問題

有 N 個物品，每個有重量 weights[i] 和價值 values[i]，背包容量 W。每個物品只能拿一次，求最大價值。

2D DP（最易理解）

int knapsack01(int[] weights, int[] values, int W) {
    int n = weights.length;
    // dp[i][w] = 只考慮前 i 個物品，容量為 w 時的最大價值
    int[][] dp = new int[n + 1][W + 1];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int w = 0; w <= W; w++) {
            dp[i][w] = dp[i-1][w];  // 不拿第 i 個物品
            if (w >= weights[i-1]) {
                // 拿第 i 個物品
                dp[i][w] = Math.max(dp[i][w], dp[i-1][w - weights[i-1]] + values[i-1]);
            }
        }
    }
    return dp[n][W];
}

1D 滾動陣列（空間 O(W)）

int knapsack01Optimized(int[] weights, int[] values, int W) {
    int n = weights.length;
    int[] dp = new int[W + 1];  // dp[w] = 容量 w 時的最大價值

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 必須從右到左（大容量先更新），防止同一物品被重複選取
        for (int w = W; w >= weights[i]; w--) {
            dp[w] = Math.max(dp[w], dp[w - weights[i]] + values[i]);
        }
    }
    return dp[W];
}

為什麼逆序：若從左到右（小容量先更新），dp[w] 更新時用到的 dp[w - weights[i]] 可能已是本輪更新的值，等同於拿了兩次第 i 個物品。

DP on Bill.Lin's Notes

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0/1 背包（01 Knapsack）

問題

2D DP（最易理解）

1D 滾動陣列（空間 O(W)）