最短路三兄弟：Dijkstra / Bellman-Ford / Floyd-Warshall

Mon, 15 Jan 2024 00:00:00 +0800

問題定義

給定一個帶權圖（有向或無向），找從某點（或所有點）到其他點的最短路徑。

三種演算法各有不同的適用前提：

演算法	來源	負權重	負環偵測	時間複雜度
Dijkstra	單源	不支援	否	O((V+E) log V)
Bellman-Ford	單源	支援	是	O(VE)
Floyd-Warshall	全對	支援	是（對角線 < 0）	O(V³)

Dijkstra

原理

貪心策略 + Priority Queue。每次從未確定的節點中取出距離最小的，再用它更新鄰居的距離。前提：所有邊權重 >= 0。

實作

public int[] dijkstra(int n, int[][] edges, int src) {
    // 建立鄰接表
    Map<Integer, List<int[]>> graph = new HashMap<>();
    for (int[] e : edges) {
        graph.computeIfAbsent(e[0], k -> new ArrayList<>()).add(new int[]{e[1], e[2]});
        graph.computeIfAbsent(e[1], k -> new ArrayList<>()).add(new int[]{e[0], e[2]});
    }

    int[] dist = new int[n];
    Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);
    dist[src] = 0;

    // [node, distance]
    PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(a -> a[1]));
    pq.offer(new int[]{src, 0});

    while (!pq.isEmpty()) {
        int[] curr = pq.poll();
        int u = curr[0], d = curr[1];
        // 若取出的距離比已知更大，代表這個狀態已過時
        if (d > dist[u]) continue;

        for (int[] next : graph.getOrDefault(u, List.of())) {
            int v = next[0], w = next[1];
            if (dist[u] + w < dist[v]) {
                dist[v] = dist[u] + w;
                pq.offer(new int[]{v, dist[v]});
            }
        }
    }
    return dist;
}

關鍵細節

if (d > dist[u]) continue;：Priority Queue 可能存有同一節點的多個過時條目，這行跳過它們，是效能的關鍵。
不用 visited[] 陣列，用距離比較達到同樣效果，程式碼更簡潔。

Bellman-Ford

原理

動態規劃思維。最短路最多經過 V-1 條邊（若存在更短路，必有負環）。對所有邊 relax V-1 次。

Dijkstra on Bill.Lin's Notes

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Dijkstra

原理

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